01背包问题动态规划

更新时间:2019-10-24 10:54:23 浏览次数:1172

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动态规划的基本思想:

动态规划算法通常用于求解具有某种最优性质的问题,即我们平常所说的最优子结构性质。

动态规划算法与分治法类似,其基本思想也是将待求解问题分解成若干个子问题,先求解子问题,然后从这些子问题的解得到原问题的解。与分治法最大的区别是,适合于用动态规划求解的问题,经分解得到子问题往往不是互相独立的,即下一个子阶段的求解是建立在上一个子阶段的解的基础上,进行进一步的求解。

若用分治法来解这类问题,则分解得到的子问题数目太多,有些子问题被重复计算了很多次。如果我们能够保存已解决的子问题的答案,而在需要时再找出已求得的答案,这样就可以避免大量的重复计算,节省时间。我们可以用一个表来记录所有已解的子问题的答案。不管该子问题以后是否被用到,只要它被计算过,就将其结果填入表中。

问题描述:

给定N中物品和一个背包。物品i的重量是Wi,其价值位Vi ,背包的容量为C。问应该如何选择装入背包的物品,使得转入背包的物品的总价值为最大??

在选择物品的时候,对每种物品i只有两种选择,即装入背包或不装入背包。不能讲物品i装入多次,也不能只装入物品的一部分。因此,该问题被称为0-1背包问题。

问题分析:令V(i,j)表示在前i(1<=i<=n)个物品中能够装入容量为就j(1<=j<=C)的背包中的物品的最大价值,则可以得到如下的动态规划函数:

1

2

3

4

5

(1)   V(i,0)=V(0,j)=0

 

(2)   (a)  V(i,j)=V(i-1,j)    j<wi 

 

      (b)  V(i,j)=max{V(i-1,j) ,V(i-1,j-wi)+vi) }   j>wi

(1)式表明:如果第i个物品的重量大于背包的容量,则装人前i个物品得到的最大价值和装入前i-1个物品得到的最大价是相同的,即物品i不能装入背包。

(2)式表明:如果第i个物品的重量小于背包的容量,则会有一下两种情况:(a)如果第i个物品没有装入背包,则背包中物品价值就等于把前i-1个物品装入容量为j的背包中所取得的价值。(b)如果把第i个物品装入背包,则背包物品的价值等于第i-1个物品装入容量位j-wi 的背包中的价值加上第i个物品的价值vi; 显然,取二者中价值最大的作为把前i个物品装入容量为j的背包中的最优解。


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